Probando la capacidad de análisis lógico

Encontrar formas diversas, divertidas e inteligentes para medir la capacidad lógica y de abstracción matemática de los alumnos si nos salimos de lo caminos trillados de las publicaciones pedagógicas al uso y que en mucho caso escriben profesionales bienintencionados pero que rara vez se han enfrentado a un aula real, no es nada fácil, o por el contrario lo tenemos delante de nuestros ojos y no sabemos verlo porque los profesores de alguna manera nos anquilosamos con el tiempo y también perdemos esa capacidad, si es que algún día la tuvimos.

A pesar de ser titulado y especializarme en ciencias aplicadas cuya base son las matemáticas y la física ( no soy ingeniero, quédense tranquilos jejeje) mi admiración por las matemáticas y sus profesionales podríamos decir que no tiene límites. Dice un dicho cabalístico que lo que no puede expresarse por un número, simplemente no existe, yo lo que afirmo es que lo que queda fuera de las matemáticas queda fuera del campo de la existencia. Pero filosofías aparte vayamos al turrón.

Andaba un día leyendo en la biblioteca un texto sobre la vida de Kurt Göddel y sus teoremas de incompletitud cuando vi un ejemplo de lo que afirmaba al principio pero que simplemente lo que intentaba era mediante un ejemplo carente de complejidad determinar que la verificación de una demostración matemática puede no ser sencilla. El ejemplo más conocido es del Teorema de Fermat sobre el cual Andrew Wiles presentó una demostración después de varios años de trabajo, siete en concreto y que cuando fue revisada por los especialistas encontraron una laguna lógica en un paso que no acababan de entender y que no estaba debidamente justificado. Andrew Wiles tuvo que encerrarse literalmente casi dos años para a finales de 1996 presentar una demostración completa de un teorema que esperó ese día 350 años.

Göddel había profundizado en la teoría de la demostración matemática de Hilbert que exigía hallar un conjunto de axiomas que permitieran demostrar todas las verdades de la aritmética mediante razonamientos verificables algorítmicamente, es decir que se podría programar un ordenador para realizar una verificación de un razonamiento matemático siguiendo una serie de pasos lógicos, siempre considerando a la aritmética como una rama de las matemáticas que habla de las propiedades de las suma y el producto de números naturales y que involucra conceptos como “número primo”, “número perfecto”, “número triangular” y donde los axiomas derivados de las afirmaciones de una demostración darían un conjunto de verdades básicas posibles de deducir indubitablemente.

Lo que yo digo a mis alumnos es que soy capaz de demostrarles que 1 es igual a 2 y les guío paso a paso hasta que llego a dicha conclusión , la cual les descompone intelectualmente un tanto porque tanto ellos como yo sabemos que eso es imposible, pero la demostración aparentemente no presenta “algorítmicamente” ningún error. Antes de entrar en ella tengo que decir que son más refractarios a encontrar, no el error, que no lo es, sino la inconsistencia matemática a amigos y conocidos con formación superior ya sea en letra o ciencias, y que aquellos que más frecuentemente dan con el “truco” son aquellos que no han seguido una formación superior, pero que obviamente tienen una intuición y capacidad matemática superior a aquellos que fallaron. en lo que al alumnado se refiere la verdad es que he observado pocos éxitos en la resolución, quizá porque son generaciones más acomodaticias y con saber que es imposible les basta en una sociedad donde lo que prima es la eficacia frente a la sabiduría. Nos ponemos a ello. Recuerden que vamos a “demostrar” que 1 es igual a 2:

1. Por hipótesis suponemos que a=b

2. Multiplicamos ambos miembros por b ab = bb

3. ab=b^2

4. Restamos a^2 en ambos miembros ab-a^2 =b^2-a^2

5. En el 2º miembros descomponemos la identidad notable ab-a^2 =(b-a)(b+a)

6. Sacamos factor común en el primer miembro a(b-a)=(b-a)(b+a)

7. Suprimimos (b-a) en ambos miembros a=b+a

8. Puesto que de 1 suponemos que a=b a=a+a

9. 1a=2a

10. Suprimimos la a 1=2

Obviamente sabemos que esto no es verdad, pero ¿dónde está la equivocación? Está en el paso 7 puesto que b-a es igual a 0 y un 0 multiplicando simplemente no lo podemos cancelar, imaginemos por ejemplo 3*0 =4*0, obviamente si cancelamos el 0 nos quedaría que 3=4, y como dicen en inglés ...and so, and so, and so..

¿Podríamos enseñar esto a un ordenador que no razona, que simplemente sigue un algoritmo por muy complejo que sea este? Esto se convierte en algo problemático y verifica el teorema de incompletitud. Un ordenador entiende enunciados que le cargan, pero no “entiende” axiomas. Por muy excitante que nos parezca, todavía estamos muy lejos de la inteligencia artificial, básicamente porque nos gusta llamarla así, pero que en absoluto es inteligencia.